Symmetrien von Figuren aus Quadraten

Einleitung

PfeilRechteck 6x10Viele Pentomino-2D-Figuren sind symmetrisch. Das 10×6-Rechteck zum Beispiel hat 2 durch die Mittelsenkrechten verlaufende Symmetrieachsen und ist 180°-drehsymmetrisch, der abgebildete Pfeil hat eine diagonale Symmetrieachse. Es gibt verschiedene Symmetrien und es gibt Figuren mit unterschiedlichen Kombinationen aus diesen Symmetrien. Aber wie viele verschiedene Symmetriekombinationen gibt es? Um diese Frage geht es in diesem Beitrag.

Vorraussetzungen

Wikipedia definiert Symmetrie folgendermaßen:
Mit dem geometrischen Begriff Symmetrie (altgriechisch συμμετρία symmetria „Ebenmaß, Gleichmaß“, aus σύν syn „zusammen“ und μέτρον metron „Maß“) bezeichnet man die Eigenschaft, dass ein geometrisches Objekt durch Bewegungen auf sich selbst abgebildet werden kann, also unverändert erscheint. Eine Umwandlung, die ein Objekt auf sich selbst abbildet, heißt Symmetrieabbildung oder Symmetrieoperation.

QuadratPentomino-2D-Figuren sind aus Quadraten zusammengesetzt. Schauen wir uns deshalb zunächst ein einzelnes Quadrat an. Ein Quadrat hat 4 Symmetrieachsen: die beiden Mittelsenkrechten und die zwei Diagonalen  und man kann es um 90°, 180°, 270° drehen, um es mit sich selbst wieder zur Deckung zu bringen. Zählt man noch die identische Abbildung dazu, erhält man für das Quadrat 8 Symmetrieabbildungen.

Eine Pentomino-2D-Figur besteht aber nicht aus einem, sondern aus vielen Quadraten. Es könnte also Figuren mit zusätzlichen Symmetrien geben. Bisher sind aber keine solchen Figuren aufgetaucht. Andererseits ist es nicht selbsverständlich, dass es keine zusätzlichen Symmetrien gibt, wie das Beispiel der gleichseitigen Dreiecke zeigt:

Dreieck mit 3 Symmetrieachsen
Dreieck mit 3 Symmetrieachsen
Hexagon mit 6 Symmetrieachsen
Hexagon mit 6 Symmetrieachsen

Das gleichseitige Dreieck besitzt 3 Symmetrieachsen. Das regelmäßige Sechseck (Hexagon) ist aus 6 gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt, hat aber 6 Symmetrieachsen, wie in der Abbildung zu sehen ist.

Ohne es beweisen zu können, gehe ich aber im folgenden davon aus, das es keine aus Quadraten zusammengesetzte Figur gibt, die andere Symmetrien als die eines einzelnen Quadrates aufweist.

Lösungsansatz

Um alle möglichen Kombinationen von Symmetrien zu erfassen, kann man folgendermaßen vorgehen:

Man nimmt eine 8-stellige Binärzahl. Jede Stelle der Zahl repräsentiert eine Symmetrie. Eine 1 schreibt man, wenn die Figur die Symmetrie besitzt, eine 0 wenn nicht. Die erste Stelle repräsentiert die identische Abbildung, deswegen steht dort immer eine 1. Die anderen Stellen ordne ich (willkürlich) den Symmetrien zu:

  • Stelle 2: drehsymmetrisch 90°
  • Stelle 3 : rotationssymetrisch 180°
  • Stelle 4: rotationssymetrisch 270°
  • Stelle 5: spiegelsymmetrisch mit senkrechter Spiegelachse
  • Stelle 6: spiegelsymmetrisch mit waagrechter Spiegelachse
  • Stelle 7: spiegelsymmetrisch zur Diagonalen, die von links unten nach rechts oben geht
  • Stelle 8: spiegelsymetrisch zur Diagonalen, die von rechst unten nach links oben geht

Die Symmetrie des 6×10-Rechtecks hat dann die Darstellung: 10101100, die des  Pfeils: 10000010. Von 10000000, 10000001 bis 11111111 erhält man 27=128 mögliche Symmetriekombinationen.

Lösungen filtern

Um nun zu entscheiden, welche der Symmetriekombinationen existieren, benötige ich eine Eigenschaft aller Symmetrieabbildungen, die ich am Beispiel des Rechtecks erklären möchte:

Spiegele ich das Rechteck an der senkrechten Spiegelachse, wird das Rechteck auf sich selbst abgebildet, spiegele ich es danach an der waagrechten Spiegelachse wird es wieder auf sich selbst abgebildet, also besitzt das Rechteck auch die Symmetrie, die sich aus dem Hintereinanderausführen der beiden Symmetrieoperationen ergibt. Das Hintereinanderausführen einer waagrechten und einer senkrechten Spiegelung entspricht einer Drehung um 180°, also ist das Rechteck auch 180°-drehsymmetrisch. Weiß ich also von einer Figur, das sie eine waagrechte und eine senkrechte Spiegelachse hat, ist sie auch 180°-drehsymmetrisch. Anders ausgedrückt, es gibt keine Figur, die gleichzeitig eine waagrechte und eine senkrechte Spiegelachse hat, aber nicht 180°-drehsymmetrisch ist. Übertragen auf die Binärzahlen-Darstellung bedeutet dies, das ich alle Zahlen, die an der 5. und 6. Stelle eine 1 und an der 3. Stelle eine 0 haben, wegstreichen kann, weil solche Symmetriekombinationen nicht existieren.

Ein anderes Beispiel: das 2-malige Ausführen einer 90°-Drehung ergibt eine 180°-Drehung. Es gibt also keine Figur, die 90°-drehsymmetrisch und nicht 180°-drehsymmetrisch ist. Damit kann man alle Zahlen, die an der 2. Stelle eine 1 und an der 3. Stelle eine 0 haben als Lösung ausschließen.

Quadrat_100aMit der nebenstehenden Abbildung kann man die resultierende Symmetrie leichter ermitteln.

Beispiel: Führt man zuerst eine 90°-Drehung aus, landet das grüne Dreieck in Feld 2, nach Spiegelung an der waagrechten Achse landet man in Feld 8. Dies entspricht einer Spiegelung an der Diagonalen, die von rechts oben nach links unten geht. Daraus folgt, dass es man alle Zahlen, die an der 2.Stelle( 90°-Drehung) eine 1, an der 6.Stelle (Spiegelung an der horizontalen Achse) eine 1 und an der 8. Stelle ( Spiegel an der Diagonalen, die von rechts unten nach links oben geht) eine 0 haben, als Lösung ausschließen kann.

Lösungen

Mit dem oben angegebenen Verfahren kann man viele Symmetriekombinationen ausschließen, man erhält aber keine Lösungen. Durch Probieren habe ich 10 Lösungen gefunden und alle anderen Symmetriekombinationen habe ich durch dieses Verfahren ausschließen können. Jede Figur, die aus Quadraten aufgebaut ist, hat genau eine der folgenden Eigenschaften:

  1. keine Symmetrie
    Beispiel: Katze
  2. Spiegelsymmetrie mit waagrechter Spiegelachse
    Beispiel: Buchstabe E
  3. Spiegelsymetrie mit senkrechter Spiegelachse
    Beispiel: Turm
  4. Spiegelsymmetrie mit diagonaler Spiegelachse von links unten nach rechts oben
    Beispiel: Pfeil
  5. Spiegelsymmetrie mit diagonaler Spiegelachse von rechts unten nach links oben
    Beispiel: Dreieck
  6. Drehsymmetrie 180°
    Beispiel: Parallelogramm
  7. Drehsymmetrie 90°, 180° und 270°
    Beispiel: Windmühle
  8. Spiegelsymmetrie mit waagrechter und senkrechter Spiegelachse und Drehsymmetrie 180°
    Beispiel: Rechteck
  9. Spiegelsymmetrie mit beiden diagonalen Spiegelachsen und Drehsymmetrie 180°
    Beispiel: Doppelpfeil
  10. Spiegelsymmetrie mit 4 Spiegelachsen und Dehsymmetrie 90°, 180° und 270°
    Beispiel: Quadrat