Symmetrien von Figuren aus Würfeln

Einleitung

Analog zum Beitrag Symmetrien von Figuren aus Quadraten geht es hier um die Frage, wieviele verschiedene Symmetrien gibt es von Figuren, die aus Würfeln aufgebaut sind. Aus Würfeln aufgebaute Figuren findet man zum Beispiel im Soma-, SomaPlus- und Pentomino-3D-Puzzle. Zur Anschauung ist das Soma-Puzzle am besten geeignet – es besteht nur aus wenigen Teilen und man kann mit ihm einen Würfel bauen – die Figur mit den meisten Symmetrien.

Wenn man im Alltag einen Gegenstand als symmetrisch bezeichnet, meint man damit, dass er spiegelsymmetrisch ist. Im mathematischen Sinne, so wie der Begriff hier verwendet wird, sind Symmetrien Abbildungen, die Objekte auf sich selbst abbilden. Jede Figur besitzt mindestens eine Symmetrie, nämlich die identische Abbildung. Viele Figuren haben mehrere Symmetrien.

Um Verwechslungen zu vermeiden, werde ich im folgenden eine einzelne Symmetrieabbildung Symmetrie,  die Menge aller Symmetrie-Abbildungen einer Figur Symmetriekombination nennen.

Um die Symmetrienkombinationen von Figuren aus Würfeln zu bestimmen, habe ich die gleichen Techniken benutzt, wie im Artikel Symmetrien von Figuren aus Quadraten beschrieben, nur etwas systematischer und mit Unterstützung durch kleine Computerprogramme.

Ich gehe ohne Beweis davon aus, dass eine aus mehreren Würfeln zusammengesetzte Figur keine andereren Symmetrien, als die eines einzelnen Würfels besitzt. Deshalb schaue ich mir zunächst einen einzelnen Würfel an.

Die Symmetrien des Würfels

Diesen Abschnitt habe ich ausführlicher gehalten, denn die Symmetrien sind nicht so einfach zu erkennen, wie z.B. beim Quadrat.

Ein Würfel hat 48 Symmetrien. Es gibt die identische Abbildung, 9 Spiegelungen, 23 Drehungen, 14 Drehspiegelungen und eine Punktspiegelung. Mit Hilfe der folgenden Grafiken kann man sich die Symmetrien des Würfels leichter vorstellen. Durch die jeweilige Symmetrieabbildung wird das grüne Dreieck auf das rote Dreieck abgebildet. Zusätzlich habe ich die Drehachsen bzw. Spiegelebenen angegeben.

Die identische Abbildung


01Id1 Id

Das grüne Dreieck wird auf sich selbst abgebildet


 

Spiegelungen und Drehungen


02RotZ90RotZ2 RotZ90

90°-Rotation um die Z-Achse


03RotZ180RotZ3 RotZ180

180°-Drehung um die Z-Achse


04RotZ270RotZ4 RotZ270

270°-Drehung um die Z-Achse


05RotX90RotX5 RotX90

90°-Drehung um die X-Achse


06RotX180RotX6 RotX180

180°-Drehung um die X-Achse


07RotX270RotX7 RotX270

270°-Drehung um die X-Achse


08RotY90RotY8 RotY90

90°-Drehung um die Y-Achse


09RotY180RotY9 RotY180

180°-Drehung um die Y-Achse


10RotY270RotY10 RotY270

270°-Drehung um die Y-Achse


11SpXYSpXY11 SpXY

Spiegelung an der XY- Ebene


12SpYZSpYZ12 SpYZ

Spiegelung an der YZ- Ebene


13SpXZSpXZ13 SpXZ

Spiegelung an der XZ-Ebene


14SpKante1SpKanteE14 SpKante1

Spiegelung


15SpKante2SpKanteF15 SpKante2

Spiegelung


16SpKante3SpKanteB16 SpKante3

Spiegelung


17SpKante4SpKanteD17 SpKante4

Spiegelung


18SpKante5SpKanteA18 SpKante5

Spiegelung


19SpKante6SpKanteC19 SpKante6

Spiegelung


20RotEcke1RotEckeB20 RotEcke1

Rotation 120°


21RotEcke2RotEckeA21 RotEcke2

Rotation120°


22RotEcke3RotEckeD22 RotEcke3

Rotation 120°


23RotEcke4RotEckeC23 RotEcke4

Rotation 120°


24RotEcke5RotEckeB24 RotEcke5

Rotation 240°


25RotEcke6RotEckeA25 RotEcke6

Rotation 240°


26RotEcke7RotEckeD26 RotEcke7

Rotation 240°


27RotEcke8RotEckeC27 RotEcke8

Rotation 240°


28RotKante1RotKanteB28 RotKante1

Rotation 180°


29RotKante2RotKanteA29 RotKante2

Rotation 180°


30RotKante3RotKanteD30 RotKante3

Rotation 180°


31RotKante4RotKanteC31 RotKante4

Rotation 180°


32RotKante5RotKanteE32 RotKante5

Rotation 180°

 


33RotKante6RotKanteF33 RotKante6

 

Rotation 180°


 

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Punktspiegelung und die Drehspiegelungen durch Hintereinanderausführen einer Spiegelung und einer Drehung darzustellen. Es ist jeweils ein Beispiel angegeben.

 Punktspiegelung


34Punkt34 Punkt

12 SpYZ → 6 RotX180


 

Drehspiegelungen


35RotSp135 RotSp1

2 RotZ90 → 11 SpXY

 


36RotSp236 RotSp2

4 RotZ270 → 11 SpXY


37RotSp337 RotSp3

12 SpYZ → 5 RotX90


38RotSp438 RotSp4

12 SpYZ → 7 Rot270


39RotSp539 RotSp5

8 RotY90 → 13 SpXZ


40RotSp640 RotSp6

10 RotY270 → 13 SpXZ


41RotSp741 RotSp7

2 RotZ90 → 17 SpKante4


42RotSp842 RotSp8

14 SpKante1 → 10 RotY270


43RotSp943 RotSp9

4 RotZ270 → 17 SpKante4


44RotSp1044 RotSp10

4 RotZ270 → 16 SpKante3


45RotSp1145 RotSp11

8 RotY90 → 15 SpKante2

 


46RotSp1246 RotSp12

8 RotY90 → 14 SpKante1

 


47RotSp1347 RotSp13

10 RotY270 → 14 SpKante1

 


48RotSp1448 RotSp14

10 RotY270 → 15 SpKante2


 

 

Binärzahlen-Darstellung

Im nächsten Schritt werden die Symmetriekombinationen in Form einer Binärzahl dargestellt. Jeder Stelle der Zahl wird eine Symmetrie zugeordnet. Eine 1 schreibe ich, wenn die Figur die Symmetrie besitzt, eine 0 wenn nicht. Die Stellen habe ich entsprechend der Nummerierung der oben abgebildeten Grafiken zugeordnet. Damit kann man jeder Figur, die aus Würfeln aufgebaut ist, eine 48-stellige Binärzahl zuordnen, die die Symmetriekombination der Figur angibt.  An der ersten Stelle, die die identische Abbildung repräsentiert, steht für jede Figur eine 1, es gibt deshalb  247 = 140.737.488.355.328 verschiedene Binärzahlen, die 247 verschiedene Symmetriekombinationen wiedergeben.

Beispiel:

Soma Figur 3 BadewanneDie Soma-Figur Badewanne ist 180°- rotationssymetrisch mit der senkrechten (Z-)-Achse als Drehachse, ist spiegelsymmetrisch zu der von der X- und Z-Achse aufgespannten Ebene und ebenfalls spiegelsymmetrisch zu der von der Y- und Z-Achse aufgespannten Ebene. Sie besitzt also die Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 12 SpYZ und 13 SpXZ und damit die Binärzahlendarstellung: 101000000001100000000000000000000000000000000000.

 

 

Filtern der Binärzahlen

Um unmögliche Symmetriekombinationen herauszufiltern, benutze ich folgende Eigenschaft: Besitzt eine Figur die Symmetrien A und B, dann ist auch das Nacheinanderausführen von A und B eine Symmetrie der Figur. Wird die Symmetrie A durch die Stelle a, Symmetrie B durch die Stelle b und die Symmetrie, die ich durch Hintereinanderausführen der Symmetrien A und B erhalte, durch die Stelle c in der Binärzahl repräsentiert, so lautet die Bedingung, die die Binärzahl erfüllen muss:

wenn a = 1 und b = 1 ist, dann muss auch c = 1 sein oder anders ausgedrückt

wenn a = 1 und b = 1 und c = 0 ist, dann stellt die Binärzahl keine zulässige Symmetriekombination dar und ich verwerfe sie.

Beispiel: Führe ich die Symmetrieabbildungen 11 SpXY und 18 SpKante5 nacheinander aus, entspricht das einer Abbildung 5 RotX90 oder kurz 11 → 18 = 5. Das bedeutet, dass ich alle Binärzahlen die an der 11. und an der 18. Stelle eine 1 und an der 5. Stelle eine 0 haben, aus der Liste der Binärzahlen streichen kann, da sie als Lösungen nicht in Betracht kommen.

Da die 1. Stelle, die für die identische Abbildung steht, keine Binärzahlen herausfiltert,  erhält man 2 → 2, 2 → 3, 2 → 4, …,47 → 47 ingesamt 47* 47 = 2209 Bedingungen, die eine Binärzahl erfüllen muss, damit sie eine zulässige Symmetriekombination darstellt.

Man muss also nur noch jede der 140.737.488.355.328 verschiedenen Binärzahlen daraufhin überprüfen, ob sie alle 2209 Bedingungen erfüllt.

Lösungen

Ich habe die Berechnungen von einem Programm durchführen lassen und es bleiben 98 Binärzahlen und damit 98 Symmetriekombinationen übrig. Durch Probieren habe ich bisher 88 der 98 Symmetriekombinationen gefunden. Ob alle der restlichen 10 Symmetriekombinationen existieren, weiß ich nicht (und bezweifele es). Für den Soma- Würfel habe ich bisher 54 Figuren mit Lösungen gefunden.

Für den Fall, dass Sie Interesse an der Suche nach den fehlenden Symmetrien haben, habe ich das Programm SymmetrieTest zum Download bereitgestellt. Es rechnet die Symmetrien für beliebige Figuren aus und zeigt an, ob die Symmetriekombination schon bekannt ist. Darüber hinaus zeigt es für Figuren aus 27 Würfeln an, ob es Lösungen für den Soma-Würfel gibt und ob die Figur zu den 54 schon gefundenen Symmetriekombinationen für den Soma-Würfel gehört oder nicht.

 

98 Symmetriekombinationen

Die angegebenen Beispiel-Figuren habe ich zusammen mit dem Programm SymmetrieTest zum Download bereitgestellt Sie lassen sich mit den Programmen SymmetrieTest und Soma öffnen.

54 Symmetriekombinationen für den Soma-Würfel


1

Soma Figur 4 Schlange

Symmetrien: 1 Id

Beispiel-Figur: Schlange, ist im Programm Soma als Beispiel vorhanden


2

Symmetrien: 1 Id, 34 Punkt

Beispiel-Figur: S063


3

Symmetrien: 1 Id, 33 RotKante6

Beispiel-Figur: S043


4

Symmetrien: 1 Id, 32 RotKante5

Beispiel-Figur: S042


5

Symmetrien: 1 Id, 31 RotKante4

Beispiel-Figur: S041


6

Symmetrien: 1 Id, 30 RotKante3

Beispiel-Figur: S040


7

Symmetrien: 1 Id, 29 RotKante2

Beispiel-Figur: S039


8

Symmetrien: 1 Id, 28 RotKante1

Beispiel-Figur: S038


9

Symmetrien: 1 Id, 23 RotEcke4, 27 RotEcke8

Beispiel-Figur: S037


10

Symmetrien: 1 Id, 22 RotEcke3, 26 RotEcke7

Beispiel-Figur: S036


11

Symmetrien: 1 Id, 21 RotEcke2, 25 RotEcke6

Beispiel-Figur: S035


12

Symmetrien: 1 Id, 20 RotEcke1, 24 RotEcke5

Beispiel-Figur: S034


13

Symmetrien: 1 Id, 19 SpKante6

Beispiel-Figur: S029


14

Symmetrien: 1 Id, 19 SpKante6, 28 RotKante1, 34 Punkt

Beispiel-Figur: S048


15

Symmetrien: 1 Id, 18 SpKante5

Beispiel-Figur: S030


16

Symmetrien: 1 Id, 18 SpKante5, 30 RotKante3, 34 Punkt

Beispiel-Figur: S050


17

Symmetrien: 1 Id, 17 SpKante4

Beispiel-Figur: S032


18

Symmetrien: 1 Id, 17 SpKante4, 31 RotKante4, 34 Punkt

Beispiel-Figur: S051


19

Symmetrien: 1 Id, 16 SpKante3

Beispiel-Figur: S031


20

Symmetrien: 1 Id, 16 SpKante3, 29 RotKante2, 34 Punkt

Beispiel-Figur: S049


21

Symmetrien: 1 Id, 15 SpKante2

Beispiel-Figur: S028


22

Symmetrien: 1 Id, 15 SpKante2, 32 RotKante5, 34 Punkt

Beispiel-Figur: S047


23

Symmetrien: 1 Id, 14 SpKante1

Beispiel-Figur: S027


24

Symmetrien: 1 Id, 14 SpKante1, 33 RotKante6, 34 Punkt

Beispiel-Figur: S046


25

Symmetrien: 1 Id, 13 SpXZ

Beispiel-Figur: S053


26

Symmetrien: 1 Id, 13 SpXZ, 17 SpKante4, 29 RotKante2

Beispiel-Figur: S021


27

Soma Figur 17 SofaSymmetrien: 1 Id, 13 SpXZ, 16 SpKante3, 31 RotKante4

Beispiel-Figur: Sofa, ist im Programm Soma als Beispiel vorhanden


28

Symmetrien: 1 Id, 12 SpYZ

Beispiel-Figur: S025


29

Symmetrien: 1 Id, 12 SpYZ, 19 SpKante6, 30 RotKante3

Beispiel-Figur: S023


30

Symmetrien: 1 Id, 12 SpYZ, 18 SpKante5, 28 RotKante1

Beispiel-Figur: S022


31

Symmetrien: 1 Id, 11 SpXY

Beispiel-Figur: S026


32

Symmetrien: 1 Id, 11 SpXY, 15 SpKante2, 33 RotKante6

Beispiel-Figur: S052


33

Soma Figur 12 Zimmer

Symmetrien: 1 Id, 11 SpXY, 14 SpKante1, 32 RotKante5

Beispiel-Figur: Zimmer, ist im Programm Soma als Beispiel vorhanden


34

Symmetrien: 1 Id, 9 RotY180

Beispiel-Figur: S017


35

Symmetrien: 1 Id, 9 RotY180, 16 SpKante3, 17 SpKante4

Beispiel-Figur: S013


36

Symmetrien: 1 Id, 9 RotY180, 13 SpXZ, 34 Punkt

Beispiel-Figur: S011


37

Symmetrien: 1 Id, 9 RotY180, 13 SpXZ, 16 SpKante3, 17 SpKante4, 29 RotKante2, 31 RotKante4, 34 Punkt

Beispiel-Figur: S045


38

Symmetrien: 1 Id, 9 RotY180, 11 SpXY, 12 SpYZ

Beispiel-Figur: S008


39

Symmetrien: 1 Id, 8 RotY90, 9 RotY180, 10 RotY270

Beispiel-Figur: S005


40

Symmetrien: 1 Id, 6 RotX180

Beispiel-Figur: S016


41

Symmetrien: 1 Id, 6 RotX180, 18 SpKante5, 19 SpKante6

Beispiel-Figur: S014


42

Symmetrien: 1 Id, 6 RotX180, 12 SpYZ, 34 Punkt

Beispiel-Figur: S054


43

Symmetrien: 1 Id, 6 RotX180, 12 SpYZ, 18 SpKante5, 19 SpKante6, 28 RotKante1, 30 RotKante3, 34 Punkt

Beispiel-Figur: S044


44

Symmetrien: 1 Id, 6 RotX180, 11 SpXY, 13 SpXZ

Beispiel-Figur: S007


45

Symmetrien: 1 Id, 5 RotX90, 6 RotX180, 7 RotX270

Beispiel-Figur: S004


46

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180

Beispiel-Figur: S015


47

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 14 SpKante1, 15 SpKante2

Beispiel-Figur: S056


48

Soma Figur 3 BadewanneSymmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 12 SpYZ, 13 SpXZ

Beispiel-Figur: Badewanne, ist im Programm Soma als Beispiel vorhanden


49

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 11 SpXY, 34 Punkt

Beispiel-Figur: S009


 50

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 11 SpXY, 14 SpKante1, 15 SpKante2, 32 RotKante5, 33 RotKante6, 34 Punkt

Beispiel-Figur: S033


 51

Symmetrien: 1 Id, 2 RotZ90, 3 RotZ180, 4 RotZ270

Beispiel-Figur: S003


 52

Soma Figur 1 Würfel

Symmetrien: 1 Id, 2 RotZ90, 3 RotZ180, 4 RotZ270, 5 RotX90, 6 RotX180, 7 RotX270, 8 RotY90, 9 RotY180, 10 RotY270, 11 SpXY, 12 SpYZ, 13 SpXZ, 14 SpKante1, 15 SpKante2, 16 SpKante3, 17 SpKante4, 18 SpKante5, 19 SpKante6, 20 RotEcke1, 21 RotEcke2, 22 RotEcke3, 23 RotEcke4, 24 RotEcke5, 25 RotEcke6, 26 RotEcke7, 27 RotEcke8, 28 RotKante1, 29 RotKante2, 30 RotKante3, 31 RotKante4, 32 RotKante5, 33 RotKante6, 34 Punkt, 35 RotSp1, 36 RotSp2, 37 RotSp3, 38 RotSp4, 39 RotSp5, 40 RotSp6, 41 RotSp7, 42 RotSp8, 43 RotSp9, 44 RotSp10, 45 RotSp11, 46 RotSp12, 47 RotSp13, 48 RotSp14

Beispiel-Figur: Würfel, ist im Programm Soma als Beispiel vorhanden


53

Symmetrien: 1 Id, 5 RotX90, 6 RotX180, 7 RotX270,  11 SpXY, 13 SpXZ, 18 SpKante5, 19 SpKante6

Beispiel-Figur: S001


54

Symmetrien: 1 Id, 2 RotZ90, 3 RotZ180, 4 RotZ270, 12 SpYZ, 13 SpXZ, 14 SpKante1, 15 SpKante2

Beispiel-Figur: S002


 

 weitere 34 existierende Symmetriekombinationen


 55

Symmetrien: 1 Id, 15 SpKante2, 17 SpKante4, 18 SpKante5, 21 RotEcke2, 25 RotEcke6

Beispiel-Figur: sym23


 56

Symmetrien: 1 Id, 15 SpKante2, 17 SpKante4, 18 SpKante5, 21 RotEcke2, 25 RotEcke6, 30 RotKante3, 31 RotKante4, 32 RotKante5, 34 Punkt, 42 RotSp8, 46 RotSp12

Beispiel-Figur: sym18


57

Symmetrien: 1 Id, 15 SpKante2, 16 SpKante3, 19 SpKante6, 23 RotEcke4, 27 RotEcke8

Beispiel-Figur: sym24


58

Symmetrien: 1 Id, 15 SpKante2, 16 SpKante3, 19 SpKante6, 23 RotEcke4, 27 RotEcke8, 28 RotKante1, 29 RotKante2, 32 RotKante5, 34 Punkt, 41 RotSp7, 47 RotSp13

Beispiel-Figur: sym16


59

Symmetrien: 1 Id, 14 SpKante1, 17 SpKante4, 19 SpKante6, 22 RotEcke3, 26 RotEcke7

Beispiel-Figur: sym25


60

Symmetrien: 1 Id, 14 SpKante1, 17 SpKante4, 19 SpKante6, 22 RotEcke3, 26 RotEcke7, 28 RotKante1, 31 RotKante4, 33 RotKante6, 34 Punkt, 44 RotSp10, 45 RotSp11

Beispiel-Figur: sym19


61

Symmetrien: 1 Id, 14 SpKante1, 16 SpKante3, 18 SpKante5, 20 RotEcke1, 24 RotEcke5, 29 RotKante2, 30 RotKante3, 33 RotKante6, 34 Punkt, 43 RotSp9, 48 RotSp14

Beispiel-Figur: sym17


62

Symmetrien: 1 Id, 9 RotY180, 39 RotSp5, 40 RotSp6

Beispiel-Figur: sym20


63

Symmetrien: 1 Id, 9 RotY180, 29 RotKante2, 31 RotKante4

Beispiel-Figur: sym14


64

Symmetrien: 1 Id, 8 RotY90,  9 RotY180, 10 RotY270,  13 SpXZ, 34 Punkt, 39 RotSp5, 40 RotSp6

Beispiel-Figur: sym09


65

Symmetrien: 1 Id, 8 RotY90,  9 RotY180, 10 RotY270,  11 SpXY, 12 SpYZ, 16 SpKante3, 17 SpKante4

Beispiel-Figur: sym06


66

Symmetrien: 1 Id, 6 RotX180, 37 RotSp3, 38 RotSp4

Beispiel-Figur: sym21


67

Symmetrien: 1 Id, 6 RotX180, 28 RotKante1, 30 RotKante3

Beispiel-Figur: sym15


68

Symmetrien: 1 Id, 5 RotX90, 6 RotX180, 7 RotX270,  12 SpYZ, 34 Punkt, 37 RotSp3, 38 RotSp4

Beispiel-Figur: sym08


69

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 35 RotSp1, 36 RotSp2

Beispiel-Figur: sym11


70

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 32 RotKante5, 33 RotKante6

Beispiel-Figur: sym13


71

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 12 SpYZ, 13 SpXZ, 32 RotKante5, 33 RotKante6, 35 RotSp1, 36 RotSp2

Beispiel-Figur: sym12


72

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 6 RotX180, 9 RotY180, 14 SpKante1, 15 SpKante2, 16 SpKante3, 17 SpKante4, 18 SpKante5, 19 SpKante6, 20 RotEcke1, 21 RotEcke2, 22 RotEcke3, 23 RotEcke4, 24 RotEcke5, 25 RotEcke6, 26 RotEcke7, 27 RotEcke8, 35 RotSp1, 36 RotSp2, 37 RotSp3, 38 RotSp4, 39 RotSp5, 40 RotSp6

Beispiel-Figur: sym22


73

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 6 RotX180, 9 RotY180, 11 SpXY, 12 SpYZ, 13 SpXZ, 34 Punkt

Beispiel-Figur: sym10


74

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 6 RotX180, 8 RotY90, 9 RotY180, 10 RotY270, 11 SpXY, 12 SpYZ, 13 SpXZ, 16 SpKante3, 17 SpKante4, 29 RotKante2, 31 RotKante4, 34 Punkt, 39 RotSp5, 40 RotSp6

Beispiel-Figur: sym01


75

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 5 RotX90, 6 RotX180, 7 RotX270, 9 RotY180, 11 SpXY, 12 SpYZ, 13 SpXZ, 18 SpKante5, 19 SpKante6, 28 RotKante1, 30 RotKante3, 34 Punkt, 37 RotSp3, 38 RotSp4

Beispiel-Figur: sym03


76

Symmetrien: 1 Id, 2 RotZ90, 3 RotZ180, 4 RotZ270, 11 SpXY, 34 Punkt, 35 RotSp1, 36 RotSp2

Beispiel-Figur: sym07


77

Symmetrien: 1 Id, 2 RotZ90, 3 RotZ180, 4 RotZ270, 6 RotX180, 9 RotY180, 11 SpXY, 12 SpYZ, 13 SpXZ, 14 SpKante1, 15 SpKante2, 32 RotKante5, 33 RotKante6, 34 Punkt, 35 RotSp1, 36 RotSp2

Beispiel-Figur: sym02


78

Symmetrien: 1 Id, 14 SpKante1, 16 SpKante3, 18 SpKante5, 20 RotEcke1, 24 RotEcke5

Beispiel-Figur: sym26


79

Symmetrien: 1 Id, 6 RotX180, 11 SpXY, 13 SpXZ, 28 RotKante1, 30 RotKante3, 37 RotSp3,38 RotSp4

Beispiel-Figur: sym27


80

Symmetrien: 1 Id, 22 RotEcke3, 26 RotEcke7, 28 RotKante1, 31 RotKante4, 33 RotKante6

Beispiel-Figur: sym28


81

Symmetrien: 1 Id, 21 RotEcke2, 25 RotEcke6, 30 RotKante3, 31 RotKante4, 32 RotKante5

Beispiel-Figur: sym 29


82

Symmetrien: 1 Id, 23 RotEcke4, 27 RotEcke8, 28 RotKante1, 29 RotKante2, 32 RotKante5

Beispiel-Figur: sym30


83

Symmetrien: 1 Id, 20 RotEcke1, 24 RotEcke5, 29 RotKante2, 30 RotKante3, 33 RotKante

Beispiel-Figur: sym31


84

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 6 RotX180, 9 RotY180, 14 SpKante1, 15 SpKante2, 35 RotSp1, 36 RotSp2

Beispiel-Figur: sym32


85

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 6 RotX180, 9 RotY180, 16 SpKante3, 17 SpKante4, 39 RotSp5, 40 RotSp6

Beispiel-Figur: sym33


86

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 6 RotX180, 9 RotY180, 18 SpKante5, 19 SpKante6, 37 RotSp3, 38 RotSp4

Beispiel-Figur: sym34


87

Symmetrien: 1 Id, 9 RotY180, 11 SpXY, 12 SpYZ, 29 RotKante2, 31 RotKante4, 39 RotSp5, 40 RotSp6

Beispiel-Figur: sym35


88

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 6 RotX180, 9 RotY180

Beispiel-Figur: sym36


 

 

Existieren diese 10 Symmetriekombinationen?


89

Symmetrien: 1 Id, 23 RotEcke4, 27 RotEcke8, 34 Punkt, 41 RotSp7, 47 RotSp13


90

Symmetrien: 1 Id, 22 RotEcke3, 26 RotEcke7, 34 Punkt, 44 RotSp10, 45 RotSp11


91

Symmetrien: 1 Id, 21 RotEcke2, 25 RotEcke6, 34 Punkt, 42 RotSp8, 46 RotSp12


92

Symmetrien: 1 Id, 20 RotEcke1, 24 RotEcke5, 34 Punkt, 43 RotSp9, 48 RotSp14


93

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 6 RotX180, 9 RotY180, 20 RotEcke1, 21 RotEcke2, 22 RotEcke3, 23 RotEcke4, 24 RotEcke5, 25 RotEcke6, 26 RotEcke7, 27 RotEcke8


94

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 6 RotX180, 9 RotY180, 11 SpXY, 12 SpYZ, 13 SpXZ, 20 RotEcke1, 21 RotEcke2, 22 RotEcke3, 23 RotEcke4, 24 RotEcke5, 25 RotEcke6, 26 RotEcke7, 27 RotEcke8, 34 Punkt, 41 RotSp7, 42 RotSp8, 43 RotSp9, 44 RotSp10, 45 RotSp11, 46 RotSp12, 47 RotSp13, 48 RotSp14


95

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 6 RotX180, 8 RotY90, 9 RotY180, 10 RotY270, 29 RotKante2, 31 RotKante4


96

Symmetrien: 1 Id, 3 RotZ180, 5 RotX90, 6 RotX180, 7 RotX270, 9 RotY180, 28 RotKante1, 30 RotKante3


97

Symmetrien: 1 Id, 2 RotZ90, 3 RotZ180, 4 RotZ270, 6 RotX180, 9 RotY180,32 RotKante5, 33 RotKante6


98

Symmetrien: 1 Id, 2 RotZ90, 3 RotZ180, 4 RotZ270, 5 RotX90, 6 RotX180, 7 RotX270, 8 RotY90, 9 RotY180, 10 RotY270, 20 RotEcke1, 21 RotEcke2, 22 RotEcke3, 23 RotEcke4, 24 RotEcke5, 25 RotEcke6, 26 RotEcke7, 27 RotEcke8, 28 RotKante1, 29 RotKante2, 30 RotKante3, 31 RotKante4, 32 RotKante5, 33 RotKante6