Im Jahr 2023 entdeckten David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan und Chaim Goodman-Strauss eine einzelne Kachel, mit der sich die Ebene nichtperiodisch parkettieren lässt. Diese Form erhielt den Namen „The Hat“ und gilt als erster bekannter Einstein – eine einzige Form, die allein (ohne weitere Formen) eine nichtperiodische Parkettierung ermöglicht.

Eine nichtperiodische Parkettierung ist eine lückenlose und überlappungsfreie Flächenfüllung, bei der sich das Muster niemals durch Verschieben wiederholt – im Gegensatz zu periodischen Parkettierungen, die aus sich regelmäßig wiederholenden Motiven bestehen. Obwohl “The Hat” die Fläche vollständig ausfüllt, entsteht kein regelmäßiges Raster.

Für die Parkettierung wird sowohl die Vorder- als auch die Rückseite der Kachel verwendet. Der asymmetrische Spielstein lässt sich geometrisch aus 8 Drachenvierecken oder alternativ aus 4 Monogemen zusammensetzen.

Die Puzzle-Figur der Hat Puzzle-Box besteht aus 6 Hat-Kacheln und lässt sich relativ leicht zusammensetzen.

Um darüber hinaus komplexere Figuren zu legen, werden mehr Kacheln benötigt. Deshalb ist im Download-Bereich zusätzlich eine Aufbewahrungsbox für 30 Hat-Kacheln (5 × 6) enthalten. Damit lassen sich auch größere, interessantere Formen gestalten.

Die Puzzle-Figur der Slider-Box ist 3-fach drehsymmetrisch und besitzt zusätzlich 3 Spiegelachsen. Eine weitere abgebildete Figur erreicht sogar eine 6‑fache Drehsymmetrie.

Darüber hinaus sind (unter den symmetrischen Figuren) nur 3‑fach drehsymmetrische Formen bekannt.

Die 3D-Druckvorlagen bestehend aus der Hat-Kachel und 2 Sliderboxen.