Waben-Tetrakites – Die Spielsteine
Die Grundform der Waben-Tetrakites ist ein Drachenviereck, das aus einem Sechstel eines regelmäßigen Sechsecks gebildet wird. Die Spielsteine bestehen aus vier dieser Formen und fügen sich nahtlos in das abgebildete Wabengitter ein.
Die Waben-Tetrakites gehören zur Familie der Waben-Polykites.
Es gibt 2 Dikites, 4 Trikites, 10 Tetrakites, 27 Pentakites und 85 Hexakites.
Waben-Tetrakites-Puzzles
Figuren aus allen zehn Waben-Tetrakites bedecken eine Fläche von 40 Drachenvierecken. Symmetrische Figuren aus diesem vollständigen Satz besitzen genau eine Spiegelachse.
3D-Druck-Puzzle „X“
Das Puzzle „X“ verwendet alle zehn Waben-Tetrakites. Es ist mittelschwer und hat acht verschiedene Lösungen (symmetriebereinigt).
Mit denselben Spielsteinen lassen sich weitere Figuren zusammensetzen. Die erste Bildreihe zeigt das X-Puzzle und eine weitere Figur aus allen zehn Tetrakites.
Weitere Figuren aus neun Waben-Tetrakites
Die erste Figur ist 3-fach drehsymmetrisch und besitzt drei Spiegelachsen. Die zweite Figur ist 2-fach drehsymmetrisch und besitzt zwei Spiegelachsen.
Symmetrien für Figuren aus 10 Tetrakites
Mögliche Symmetrien im Waben-Kite-Raster
Im Waben-Kite-Raster sind Figuren mit 2-, 3- und 6-facher Drehsymmetrie möglich. Diese können ohne Spiegelachsen oder mit zwei, drei beziehungsweise sechs Spiegelachsen auftreten. Außerdem sind Figuren mit einer einzigen Spiegelachse möglich.
Warum sind 3- und 6-fache Drehsymmetrien ausgeschlossen?
Bei einer 3-fachen Drehsymmetrie müssen die Drachenvierecke vollständige Dreiergruppen bilden, deren Zellen durch Drehen ineinander übergehen. Entsprechend entstehen bei einer 6-fachen Drehsymmetrie Sechsergruppen. Ein einzelnes Drachenviereck besitzt selbst keine dieser Drehsymmetrien.
Der vollständige Satz aus zehn Waben-Tetrakites besteht aus 40 Drachenvierecken. Da 40 weder durch drei noch durch sechs teilbar ist, sind beide Drehsymmetrien ausgeschlossen.
Warum ist eine 2-fache Drehsymmetrie ausgeschlossen?
Hier hilft eine Schwarz-Weiß-Färbung: Die sechs Drachenvierecke jeder Wabe werden abwechselnd schwarz und weiß gefärbt. Die Färbung ist in allen Waben gleich ausgerichtet.
Eine Drehung um 180° vertauscht dabei Schwarz und Weiß. Eine 2-fach drehsymmetrische Figur müsste deshalb gleich viele schwarze und weiße Zellen enthalten – bei insgesamt 40 Zellen also jeweils 20.
Drei der zehn Tetrakites bedecken jedoch stets eine ungerade Anzahl schwarzer Zellen, die übrigen sieben eine gerade. Diese Gerade/Ungerade-Eigenschaft bleibt auch beim Drehen oder Wenden der Steine erhalten. Zusammengenommen ergibt der Steinsatz deshalb immer eine ungerade Anzahl schwarzer Zellen. Die benötigten 20 schwarzen Zellen sind damit nicht erreichbar.
Auch mehrere Spiegelachsen sind ausgeschlossen, da sie zugleich eine Drehsymmetrie erzeugen würden. Als mögliche Symmetrie bleibt für den vollständigen Satz eine einzelne Spiegelachse. Diese Ausschlüsse gelten auch für Figuren mit Löchern.
Ressourcen & Downloads
3D-Druckvorlagen
Die 3D-Druckvorlagen für das Puzzle „X“ umfassen zehn Waben-Tetrakites und eine Box mit Schiebedeckel.
Auf der Webseite The Poly Pages finden sich weitere Informationen zu Tetrakites, Pentakites, Hexakites und Heptakites.
